matematiksel Matematik Güzeldir Matematik bir bilim midir yoksa bir sanat dalı mıdır

Matematik Güzeldir Matematik bir bilim midir yoksa bir sanat dalı mıdır

Matematik bir bilim midir yoksa bir sanat dalı mıdır? Birçok matematikçi kendini sanatçı olarak görü. Onlara göre matematik sezgi, gözlem gücü, yaratıcılık ister ve matematik teoremlerinin estetik bir yönü vardır. Matematiğin diğer sanat eserlerinden en önemli farkı içerdiği kesinlik ve evrenselliktir. İşte bu matematiğin bilim yüzüdür. Peki bu durumda, “matematikçi ölümsüz eserler yaratan bir sanatçıdır” diyebilir miyiz?

Matematik Güzeldir

MATEMATİKÇİLER çok çeşitli sorular üzerine kafa yorarlar.
Farklı alanlardan farklı konularla ilgili sorularla uğraşan matematikçilerin ortak amacı doğal olarak önlerinde duran soruyu çözebilmektir. Bunun için matematikçiler çok çeşitli yöntemler geliştirmişler, teoremler kanıtlamışlardır.
Sonuçta amaç soruyu çözmek olduğuna göre bilimsel açıdan hangi yöntemin kullanıldığının yani sonuca hangi yoldan ulaşıldığının önemi yokmuş gibi gözükür. Yeter ki kullanılan yöntem matematiksel olarak doğru olsun. Fakat bir de matematiğin estetik yönü vardır. Nasıl güzel müzikten, güzel resimden ya da güzel bir heykelden sözedebiliyorsak güzel bir çözümden ya da güzel bir teoremden de sözedebiliriz. Kısalık, kolayca anlaşılabilir olmak ve de özgünlük bir teoremin güzelliği için ilk akla gelen özellikler olarak sıralanabilir.

Hemen hemen hepimiz ilkokul ya da lise sıralarında gördüğümüz bir prob-lem çözümüne ya da bir teorem kanıtına hayran kalmış ve bu çözümü, bu
kanıtı yapan kişiye karşı bir saygı duymuşuzdur. Hatta belki o kişiyi biraz
kıskanmış ve ona kızmışızdır bu kanıtı bizden önce yaptığı ve bize yapılacak birşey bırakmadığı için. İşte tam da bu kıskançlık ve sitemle karışık hayranlık duygusudur bir insanı matematikçilere ve onların uğraştıkları işe, matematiğe çeken.

Lynn Steen

Matematikle estetik ilişkisi hakkında Amerika Matematik Derneği’nin eski başkanlarından Lynn Steen şunları yazmıştır:
‘Sanat dünyasında hiçbir benzeri olmayan bir nesnelliğe sahip olduğu
halde, yaratıcı matematiğin güdüsü ve standardı bilimden çok sanatınkilere benzer. Matematiksel teoremlerin sınıflandırılmasında estetik yargı hem mantıktan hem de uygulanabilirlikten üstün tutulur: Matematiksel fikirler değerlendirilirken, kesin doğruluk ya da yararlı olma olasılığından çok güzellik ve zerafet etken olur.’

Evet, Steen’in de söylediği gibi birçok matematikçinin temel kaygısı,
estetiktir ve bu yüzden de diğer bilimadamlarından daha çok sanatçılara
yakın hissederler kendilerini. Ünlü bir matematikçi olan Weirstrass, “Bir çeşit şair olmayan bir matematikçi, hiçbir zaman mükemmel bir matematikçi olamaz” demiştir. Matematikçi de bir bakıma sayıların sanatını yapan bir sanatçıdır. Belki resimdeki renkler, müzikteki sesler ya da heykeltraşın taşı kadar somut değildir malzemesi ama sonuçta ortaya çıkardığı ürünün estetik değeri en az onlar kadar yüksektir.
Matematiğin diğer sanat dallarından önemli bir farkı vardır. Bu da sadece belirli bir insan grubuna sesleniyor olmasıdır. Diğer sanat dallarında da
üretici durumunda olan -beste yapan, resim yapan, şiir yazan- insan sayısı sınırlıdır ancak belirli bir estetik anlayışa sahip olan (ki herkesin kendine göre bir estetik anlayışı vardır) herkes üretilenlerle ilgilenebilir ve bunlardan zevk alabilir. Ancak matematikte durum biraz farklıdır. Matematikte ister üretici durumda olun ister inceleyen durumunda, önünüzde duran kanıtın tüm basamaklarını anlamanız, kanıtın
hiçbir yeriyle ilgili kafanızda soru işareti kalmaması gerekir. Bu da belli bir
matematik kültürü ve matematiksel ilişkileri kavrayabilme yeteneği ister.

G.H. Hardy

İngiliz matematikçi G.H. Hardy de matematikte estetiğin önemini vurgulayan matematikçilerden biridir. Hardy’ye göre tüm yaratıcı uğraşlarda olduğu gibi matematikte de imgeler yaratılır. Matematikçinin yapı malzemesi düşündür. Matematiğin kalıcı olmasının nedeni de düşüncelerin yavaş eskimesinden kaynaklanır. Ressam ve şairin imgeleri gibi matematikçinin imgeleri de “güzel” olmalıdır. Çirkin matematiğe yer olmadığını söyleyenHardy, güzelliğin kalıcılık için ilk şart olduğu görüşündedir. Ona göre matematik ‘güzel’ olduğu kadar ‘ciddi’ ve ‘önemli’ de olmalıdır. Peki nedir bir teoremi ciddi ve önemli kılan?

Hardy bir teoremin öneminin uygulamaya yönelik sonuçlarından değil, kullanılan matematiksel düşüncelerin öneminden kaynaklandığını söyler. Bir matematiksel düşüncenin önemi ise doğal ve aydınlatıcı biçimde matematiğin bütünü ile bağlanabilmesindedir.

Cahit Arf ve Matematiksel Estetik

Matematik ve estetik ilişkisi konusunda, Cahit Arf’ın görüşleri de oldukça yakındır diğer büyük matematikçilerinkine. Arf için matematik bir güzel
sanattır, özellikle de müziğe yakındır.
Şöyle açıklar görüşlerini: “müzik, basit bir takım seslerin süperpozisyonu ve birbirlerini takip etmelerinden müteşekkil cümlelerden ibarettir diyebiliriz. Fakat böyle cümleler her zaman müzik olamaz. Çoğunlukla kaotik gürültüler olurlar. Gürültü olmaktan kurtulmaları için bunların bazı kurallara uygun olarak teşkil edilmiş olmaları icap eder. Bunlara artık gürültü denmese bile henüz müzik de denemez.
Böyle ses cümlelerinin müzik olabilmesi hiç bir kriteryoma mutlak olarak
bağlı olmayan estetik bir unsuru ihtiva etmeleri ile mümkün olur. Aynı şey şu şekilde matematik için de doğrudur; sayılar veya geometrik şekiller yardımı ile teşkil edilen sillojizm zincirlerinin hepsine matematik, hiç değilse güzel matematik denemez. Böyle olması için ses cümlelerinde olduğu gibi sillojizm zincirlerinin de kesin olarak tarif edilemeyen estetik bir unsuru içermeleri lazımdır.”

Hatta Arf için matematiksel bir teoriyi anlamak demek bildiğimiz anlamda
teoremin içerdiği matematiksel ilişkileri anlamak demek değildir. Ona göre
bir teoremi anlamak, o teoremin içerdiği estetik unsurunu sezmek demektir.

Matematik ve estetik üzerine bu kadar sözden sonra birkaç örnek vermemek olmaz herhalde. Doğal olarak böyle bir yazıda matematiğin içerdiği estetiği göstermek için son derece basit ve matematik hakkında temel kavramları bilen bir okuyucu tarafından kolayca anlaşılabilecek teoremlerin kanıtını vereceğiz. Vereceğimiz kanıtlar ‘zarif’ oldukları konusunda birçok büyük matematikçi tarafından üzerlerinde fikir birliği edilmiş kanıtlar olacak. Böylelikle matematikçilerin neyi beğendiklerini, ‘güzel’ bir matematik teoreminde ne aradıklarını da daha yakından görmüş olacağız.

√2 İrrasyonel Olması İspatı

√2 nin irrasyonel olduğunun kanıtlayalım. (İrrasyonel sayılar a ve b tam sayı olmak üzere a/b şeklinde yazılamayan sayılardır.) Bu teorem Pisagor (ya da onun okulunun bir üyesi) tarafından bundan binlerce yıl önce kanıtlanmış. Ancak aradan geçen yıllar teoremin güzelliğinden hiçbirşey götürmemiş çünkü bu süreçte matematik gelişmiş ancak değişmemiş. Teoremin kanıtı için olmayana ergi yöntemini kullanacağız. Öncelikle teoremin yanlış olduğunu, yani √2’nin rasyonel olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda (p ve q tamsayı olmak üzere)

√2=p/q
yazılabilir. Burada p ve q aralarında asal sayılardır, yani 1’den büyük bir ortak çarpanları yoktur.
Eğer olsaydı bunları sadeleştirirdik ve ortak çarpanları kalmazdı. Buradan,
√2=p ve
2q^2=p^2
eşitliklerini elde ederiz. Sonuncu eşitlik bize p^2’nin çift sayı olduğunu söyler. Öyleyse p de çift bir sayıdır. (Çünkü tek sayıların kareleri de tek sayıdır).
O halde bir t tamsayısı için p=2t yazılabilir. Bunu son bulduğumuz eşitlikte
yerine yazarsak,
2q^2=(2t)^2
q^2=2t^2
elde ederiz.
Yukarıdakine benzer olarak, buradan da q sayısının bir çift sayı olduğu
sonucuna ulaşırız. Bu durumda hem p hem de q çift sayılar olup 2 ile bölünebilirler. Bu ise bizim başlangıçta yaptığımız p ve q ’nun ortak çarpanları olmadığı şeklindeki varsayımımızla çelişir.
Öyleyse √2’nin rasyonel bir sayı olduğu varsayımımız da yanlıştır, yani √2 irrasyoneldir. Q.E.D. (Bu kısaltma matematikçilerin çok sevdikleri ve ‘kanıtlanması gereken de bu idi’ anlamına gelen Latince ‘Quaod Erat Demonstrondum’ kelimelerinin baş harfleridir).

Hardy, bu teoremin neden güzel olduğunu açıklamaya çalışmıştır. Ona göre ciddiyet, derinlik, genellik, beklenmedik olma, kaçınılmazlık ve ekonomi
bu kanıtı estetik kılan özelliklerdir.
Gerçekten de bu özelliklerin herbirine sahiptir teorem. Ancak bu özelliklerin ne derece genellenebilecekleri ve de ne derece yeterli oldukları tartışmalıdır.

Matematikte daha önceden bilinen, kanıtlanmış teoremleri kullanabilmek çok önemlidir. Eğer her soru çözüşte o soruda kullanacağımız tüm teoremleri baştan kanıtlasaydık bugüne kadar çözülmüş soru sayısı bir elin parmaklarını geçemezdi. Ancak önemli olan kullandığımız her teoremin doğruluğu, yani kanıtının daha önceden yapılmış olmasıdır. Bu durumda daha önceden kanıtlanmış her türlü bağıntıyı, teoremi kanıtımızda kullanabiliriz.

Bununla ilgili bir fıkra bile vardır. Bir matematikçiden boş bir çaydanlık, ocak ve yeterli miktarda suyla çay verildiğinde nasıl çay demleneceğini anlatmasını istemişler.

Matematikçi de başlamış anlatmaya:
“önce çaydanlığa su ve çay koyarım, sonra çaydanlığı ocağa koyar, su kaynayana kadar beklerim. Su kaynayınca çayı demlerim ve su tekrar kaynadığında çay hazırdır”.
“Tamam” demişler,
“peki içinde su dolu bir çaydanlık verseydik ne yapardın?”
Matematikçi biraz düşünmüş sonra “çok kolay demiş, suyu dökerim sonra bir önceki teoremi kullanırım.”
Görüldüğü gibi matematikçi için önceki bilgilerinden faydalanmak oldukça kolaylık sağlayacaktır. Bunun için her ne kadar yalınlık bir teoremin estetik olmasına katkıda bulunuyorsa da daha karmaşık durumlarda ekonomik olmak yalın olmanın önüne geçebilir. Ama sonuçta, ‘zevkler, renkler ve kanıtlar tartışılmaz’ (tabi ki estetik yönden).

Umarız bu yazı sizlerin matematiği farklı bir yönden görebilmeniz için az da olsa bir yarar sağlamıştır. Matematik, çoğunluğun düşündüğü gibi ezberlenecek formüller yığını ya da karmaşık işlemler topluluğu değildir. Matematik bir anlamda insan beyninin yaratabileceği en güzel soyut eserlerden biridir. Yani matemetik “güzel” dir. Ayrıca unutmamak gerekir ki matematiği anlayabilmek, ondan zevk alabilmek için matematikçi olmak gerekmez. Önemli olan bir matematik teoreminin içindeki mantığı kavrayabilmek ve hatta bu mantığı hissedebilmektir. Bunu hissettikten sonra göreceksiniz ki bir matematik teoreminin size verdiği zevk Beethoven’in senfonilerinden, Picasso’nun resimlerinden ya da Michelangelo’nun heykellerinden hiç de aşağı değildir.