Matematiğin Soyut ve Analitik Olması

0 23

Çok eski bir geçmişe sahip olan matematiğe, insanların uygulama serüveninde yarattığı en zengin ve en soyut düşünme faaliyetlerinden biri olarak bakılması yanlış olmasa gerek.
İki artı ikinin dört etti¤ine dair bizlere çok basit görünen bir aritmetik eşitliğin bile, üniversitelerin matematik bölümlerinde okuyan öğrenciler için sınavlarda sorulduğunda ispatlanması ciddi anlamda bir çaba gerektirdiği düşünülürse, matematik gerçekten de soyut bir düşünsel faaliyettir.

Matematik ve Analitik

Matematiğe analitik olarak bakan görüşte, matematiğe sentetik olarak bakan görüşte olduğu gibi, matematiğin temelinde deneyin olması gerektiği kaygısı yoktur. Bu görüşün en büyük temsilcilerinden birisi David Hume’dur. Hume, insanın Anlama Yetisi Üzerine Bir Soruşturma adlı yapıtında idea ilişkilerive olgu sorunları arasında bir ayrım yapmıştır.. idea ilişkileri, evrende varolan herhangi bir şeye dayanmadan, sadece düşüncenin işlemesiyle ortaya çıkarılabilen ilişkilerdir. Bu tür ilişkilere geometri, cebir, aritmetik bilimlerinin önermelerinde rastlanabilir.

Örneğin, “hipotenüsün karesi, iki dik kenarın karelerinin toplamına eşittir” ya da “üç kere beş otuzun yarısına eşittir” önermeleri gibi… Hume’a göre bu tür önermeler “evrende varolan herhangi bir şey üzerine dayanmazlar”. Çünkü geometricinin idealleştirdiği daireyi ve çemberi doğada göremeyiz. Doğada ancak, bu idealleştirilmiş geometrik nesnelere benzeyen cisimlere rastlarız. Bu tür önermeler, doğanın değişen yapısına tabi olmadıkları için, yani yalnızca aklımızın işleyişinden elde edildikleri için kesindirler ve kesinlikleri sonsuza dek sürecektir. Bu anlamda bu tür önermelerin tersini düşünürsek aklen bir çelişkiye düşeriz Hume’e göre. Diğer yandan olgu sorunları, idea ilişkilerinin tersi bir yapıdadır. Olgu sorunlarına ilişkin önermelerse, idea ilişkilerine ilişkin önermelerde olduğu gibi, olumsuzları düşünüldüğünde bizi çelişkiye düşürecek önermeler değillerdir. Bu tür önermelerin olumsuzlarını her zaman düşünebiliriz. Örneğin “yarın Güneş doğacak” gibi olgu sorunuyla ilgili bir önermenin olumsuzu olan “yarın güneş doğmayacak” önermesini aklen hiçbir çelişkiye düşmeden
düşünebiliriz. Çünkü bu önermeler olgulara, başka bir deyişle evrende varolan şeylere dayanan önermelerdir. Böylelikle Hume’un idea ilişkileri adı verdiği önermeler analitik önermelere, olgu sorunları adını verdiği önermeler de sentetik önermelere denk düşmektedir. Dolayısıyla matematik Hume’e göre analitik bir yapıdadır.

Hume ve Analitik

Fakat matematiğin Hume’un belirttiği tarzda analitik olması durumunda akla şöyle bir soru gelmektedir: “Evrende varolan hiçbir şeye dayanmayan bu ilişkiler nasıl oluyor da evrende varolan her şeye böyle kusursuz şekilde uygun düşebiliyor?” Yani matematiğin Hume’un dediği gibi analitik olduğunu kabul ettiğimiz zaman, matematiğin önermeleri ve dünya arasındaki bu uçurum nasıl oluyor da uygulama esnasında ortadan kalkabiliyor? Öyle ya, matematik, evrende varolan hiçbir şeye dayanmıyorsa, yani onlardan ayrı bir yapısı varsa ve yalnızca bizim düşüncemizin ürünüyse, nasıl oluyor da örneğin bir Pisagor teoremini doğada gördüğümüz her şekle uygulayabiliyoruz? Matematiğe analitik olarak bakan görüş açısından bu sorunun yanıtı basittir: Çünkü, matematik, özellikle geometri, bazen görüye başvursa da, bu hiçbir zaman matematiğin önermeleri için zorunlu değildir; daha çok, bir tümdengelimsel zincirin doğruluğunu doğrudan kavrayamayan sınırlı anlama yetimiz için yardımcı birşeydir. Buna rağmen eğer, tanrısal bir sonsuz anlama yetisine sahip olsaydık, görüye başvurmamıza da gerek kalmayacaktı.

Matematik ve Tümdengelim

Yani bizlerin matematik yaparken deneye başvurmamız, örneğin Pisagor teoremini anlatırken önümde duran kağıda bir dik üçgen çizmem ve
onun kenarlarını ölçmem benim için yalnızca yardımcı bir işlemdir. Matematikte aslında tümdengelimsel bir zincir vardır ve bu zincirin sonundaki matematiğin tüm önermeleri ve kuramları, birkaç başlangıç önermesinden başlar. Aslında matematiğin bütün teoremlerinde ve
önermelerinde anlatılanlar bu başlangıç önermelerinde zaten vardır. Bizim zihinsel yapımız eğer çok güçlü olsaydı, aslında matematik denen bir şeye bile gerek kalmadan bu başlangıç önermelerinde anlatılanları hemen kavrayacaktık. Bu başlangıç önermeleri de, örneğin B. Russell’a göre birkaç
mantık aksiyomundan ibarettir. Sözü geçen mantık aksiyomlarının en başında ise, “bir şeyin kendine özdeş olması” (A=A) gelir. Her şey sonuçta A=A demek olduğuna göre, matematik elbette dünyaya ve evrene uygun olacaktır. Çünkü “bir şeyin kendisine eşit olması” ilkesinin evrende
varolan her şeye uygun olduğunu şimdiden söyleyebiliriz. Dolayısıyla bu ilke, evrende varolan her şeye uygulanabilir.
Matematikçi ve filozof H. Poincaré’ye göre bu durum “tuhaf” bir durumdur. O, matematiğin bütününü oluşturan ve böylesine çok sayıda kitapları dolduran bütün teoremlerin, dolambaçlı yoldan “A=A”
demekten öte bir amacı olmadığını kabul edemediğini söyler. Çünkü düşünün bir kere, eğer bu görüş doğruysa matematiğin bütün bu zenginliği aslında görünüşte bir zenginliktir. Ve bu görünüşteki zenginliğin ardında yatan neden de bizim kıt anlayışımız.

Buna rağmen, matematiğin sentetik olduğunu savunan görüş, bu açıklamaya çabucak teslim olmaz ve yukarıda bahsettiğimiz gibi, matematikte, özellikle geometride deneye zorunlu olarak başvurulduğunu iddia eder. Örneğin geometride şekilleri kullanmaktayız ve bu şekiller ancak dünyadaki cisimlerle anlamlı olabilirler. Örneğin bir doğru tek
başına hiçbir şeyi ifade etmez… eğer dünyada doğru şeklinde bir çubuk olmasaydı. Ya da en azından matematikteki doğru çizgi, dünyadaki bir doğru şeklindeki çubuktan farklı olsa bile, bu geometrik şekil elde edilirken deneyle bir şekilde ilişkili olmalıydı. Bu duruma, yani geometride görüye (örneğin şekillere) başvuruyor olma durumuna, matematiğin analitik olduğunu savlayanlardan biri olan A. J. Ayer’in yanıtı hazırdır: Geometride ille de şekillere başvurmamız gerekmez! Tümüyle kesin bir geometri için şekiller gereksizdir. Biz şekilleri zihinsel anlayışımıza yardımcı olsun diye kullanırız.

Ayer’in sözünü ettiği bu nokta, geometrinin yorumlanmış ve yorumlanmamış geometri adı verilen kısmıyla ilgilidir. Yorumlanmamış bir
geometri bütünüyle şekilleri kullanmayan ve formel bir yapıda olan geometridir. O, sanki bir mantık dizgesine benzer. Yorumlanmış geometri
de bu yorumlanmamış geometrinin bir yorumudur. Yani şekillerin artık
kullanıldığı bir geometri. Her ne kadar, yorumlanmış geometri yorumlanmamış geometrinin bir yorumu olsa da, yorumlanmış bir geometride şekillerin kullanılmasından dolayı, matematiğin kısmen de olsa bir parçasının deneyle ilişkili olacağı kesindir. Dolayısıyla matematiğin bütünüyle olgu dünyasından bağımsız olduğu ne kadar söylenebilir? Eğer matematik bir yönüyle olgu dünyasına bağlıysa ya da olgulardan soyutlanarak elde edilmişse, bu durum matematiğin bütünüyle
tümdengelimsel bir zincir olmadığını gösterir. O zaman da matematikteki her şey A=A’ya indirgenemez. Eğer indirgenemiyorsa başlangıçtaki sorumuza yeniden dönmüş oluruz: Matematik neden bu
dünyaya bu kadar uygundur?

Cevap bırakın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

error: Content is protected!