matematiksel Kompleks (Karmaşık) Sayılar Complex Numbers

Kompleks (Karmaşık) Sayılar Complex Numbers

Kompleks sayıların (a + ib, a ve b reel sayılar ve i^2 = -1) tarihsel öyküsü, insanların bilimsel olaylara yaklaşımının zamanla nasıl değiştiğini anlamamıza ışık tutuyor. Sayma ve sayı kavramı onbinlerce yıl önce bilinmesine rağmen, negatif sayıların varlığı Avrupada ancak 16. yüzyılda benimsendi.
Negatif sayılara bakışın negatif olduğu dönemlerde karesi -1 olan bir sayının varlığı elbette kabul edilemezdi.
Ancak günümüzde karesi -1 olan bir sayının varlığının da en az reel sayılar kadar gerçek ve tartışılmaz olduğu biliniyor.

Kompleks Sayıların Tarihsel Gelişimi

Sayıların evrensel tarihi bir bakıma insanlığın olayları algılama ve kavrama tarihidir. Sayma ve sayılarla ilgili ilk bilgiler günümüzden yaklaşık 35.000 yıl öncesine dayanıyor. Negatif sayıların ise ilk kez M.Ö. 2. yüzyılda
Çinliler tarafından kullanıldığını görüyoruz. Bu sayıların Avrupa’ya ulaşması ise ancak 16. yüzyılda mümkün oldu. Tarihte 1, 2, 3, 4, 5, … gibi
sayma sayıları dışındaki sayılara karşı uzun süren bir direnç olduğunu ve kolayca kabul edilmediğini görüyoruz.

complex numbers Kompleks (Karmaşık) Sayılar Complex Numbers
Karmaşık sayılar

Örneğin √2 gibi a/b şeklinde ifade edilemeyen sayılar için Yunanlılar ‘irrasyonel’ (rasyonel olmayan, akla aykırı) ifadesini kullanıyordu. Matematiğin daha çok olgulara dayandığı dönemlerde negatif sayıları kabul etmek kolay değildi. Çünkü somut olarak 3 elmadan 5 elmayı çıkarmak imkânsızdı ve insanlar da böyle düşünüyorlardı. İskenderiyeli ünlü matematikçi Diophantus bile Arithmetica isimli eserinde 4x + 20 = 0 denkleminin çözümü için ‘absürd’ ifadesini kullanmıştı. Ticaretin gelişmesi ve borçlanmanın yaygınlaşmasıyla negatif sayıların kullanılması işleri kolaylaştırıyordu. Ancak yine de negatif sayılara bakış yüzyıllar boyunca adı gibi negatif oldu. Kuşkusuz bu dönemlerde karesi negatif olan bir sayının varlığı kabul edilemezdi.

Özellikle ikinci dereceden denklemlerin çözümüyle uğraşan her matematikçi daha önceki sayılardan farklı bir durumla karşılaşıyordu. Karesi -1 olan sayıları gören matematikçiler sonucun olmadığını belirtip konuyu kapatıyorlardı.
Diophantus ve daha sonra Hintli matematikçi Brahmagupta ikinci dereceden denklemlerin çözümüyle ilgili önemli bilgiler verdiler.
Ancak önceki matematikçilerden farklı olarak genel çözümün Harizmi (Ebu Abdullah Muhammed bin Musa el-Harizmi) (780 – 850) tarafından verildiğini görüyoruz. Bu dönemlerde matematikçiler denklem çözümlerinde daha çok geometrik yaklaşımları benimsiyorlardı ve o yüzden karesi negatif olan bir sayının olamayacağını düşünüyorlardı.

Sanılanın aksine, negatif sayıların karekökü ikinci dereceden değil, üçüncü dereceden denklemlerin çözümü sırasında ciddi olarak düşünülmeye başlandı. İkinci dereceden denklemlerin çözümünde karesi -1 gibi negatif bir sayının olamayacağı düşünülerek çözümün olmadığı kabul edilmişti. Belki bu dönemde insanlar karesi negatif bir sayı olan yeni bir sayıyı kavramsal olarak benimsemiyordu ve çözümün olmadığını kabul etmek daha cazip geliyordu. Ancak üçüncü dereceden denklemlerin çözümünde durum farklıydı. Çünkü böyle bir sayının varlığı veya benzer bir yaklaşım, çözümde büyük kolaylıklar sağlıyordu.

Ancak bu o kadar da kolay olmadı. Örneğin üçüncü dereceden denklemlerin çözümüyle uğraşan ilk matematikçilerden biri olan Ömer Hayyam’ın (1048 – 1131) bu sayılarla ilgili bilgisinin olup olmadığı bilinmiyor. Ömer Hayyam’dan sonra gelen Leonardo da Pisa (Fibonacci) (1170-1250), Nicolo Tartaglia (1499-1557) gibi matematikçilerin de x = √-1 gibi bir sayı hakkında somut çalışma yapıp yapmadıkları bilinmiyor.
Mısır papirüslerini başlangıç olarak alırsak yaklaşık 3400 yıl boyunca insanlar bu sayıların varlığını inkâr ettiler. Yok sayıldı, böyle bir şey olamaz denildi. Hatta bu konuda ilk önemli adımı atan İtalyan matematikçi Gerolamo Cardano (1501 – 1576) bile bunlar için ‘akıl işkencesi’ tabirini kullandı.

Cardano kompleks sayıların cebirde kullanılmasını sağlayan ilk bilim insanı olarak biliniyor. Cardano’dan sonra Rafael Bombelli’nin konuyu daha detaylı ele aldığını görüyoruz. Bombelli kompleks sayıları kullanarak üçüncü dereceden denklemlerin köklerini daha kolay bulduğunu belirtmişti.
Cardano’ya kadar geçen süre kompleks sayıların ilk dönemi sayılabilir. Bu döneme kadar varlığı kabul edilmeyen bu sayılar artık inkâr edilemez bir biçimde etkisini hissetiriyordu.

1637 yılında Fransız filozof René Decartes (1596 – 1650) ilk kez bu sayılar için ‘imaginery’ terimini kullandı ve negatif bir sayının karekökünü ‘sanal’ olarak niteledi. Ona göre herhangi bir hesaplamada sanal sayıların bulunması, gerçekte, çözümün olmadığı anlamına geliyordu. Bu konuda Isaac Newton da Decartes’la aynı kanıdaydı.

19. yüzyıllarda kompleks sayılar adeta altın çağını yaşadı ve çok sayıda matematikçi bu sayılarla ilgilendi: Leonhard Euler, Abraham de Moivre, Carl Friedrich Gauss, William Rowan Hamilton, Augustin Louis Cauchy, Bernhard Rieman, Karl Weierstrass ve daha niceleri.
Leonard Euler (1707 – 1783) ilk kez kompleks sayılar için i = √-1 kavramlaştırmasını kullandı. Cardano’dan Euler’e kadar geçen dönemi kompleks sayıların ikinci dönemi olarak kabul edebiliriz. Önce varlığı kabul edilmeyen, sonra üçüncü dereceden denklemlerin çözümünde büyük kolaylıklar sağladığı için üşenerek de olsa kabul edilen ve daha sonra çok sayıda matematikçinin üzerinde çalıştığı ve adeta kimliğini aydınlattığı bu sayıar, Euler’le birlilkte artık üçüncü dönemine giriyordu. Bu dönemde kompleks sayılar adeta kurtarıcı rolünde, çok sayıda zor problemin kolay çözümünde anahtar rol üstlenmişti. Kompleks sayıların bulunması ve buna dayalı kompleks analiz, matematikte görünürde birbirleri ile ilgisi olmayan çok sayıda farklı konu veya nicelikler arasında bağıntı bulmayı son derece kolaylaştırıyordu. Euler’in 1748 yılında bulduğu eşitlik buna en güzel örnektir. Euler, bütün reel θ (theta)’lar için e^iθ = Cosθ + i sinθ olduğunu ispatladı. Bu eşitlik soldaki kompleks değerli üs fonksiyonu ile trigonometrinin normal reel değerli sinüs ve kosinüs fonksiyonları arasındaki bir bağlantıyı ifade ediyor.

Matematikçiler prensi olarak kabul edilen Gauss, bu sayılar için ‘kompleks sayılar’ ifadesini kullandı. Kompleks sayıların ne tamamen reel ne de tamamen sanal olmadığı görüldü. Aksine ikisinin karışımıydılar. Gauss’un çalışmalarıyla kompleks sayılara adeta resmiyet kazandırıldı. Gauss, kompleks sayıları bir düzlem üzerindeki noktalar şeklinde düşünerek matematiğin ‘kompleks analiz’ denilen dalının temellerini attı.

Peki ya sıfırdan farklı fakat karesi sıfır olan bir sayı var mı? Eminim cevabınız biraz şaşkınlıla ‘tabi ki olamaz’ şeklindedir. Ancak böyle bir sayı var. William Kingdon Clifford (1845 – 1879) tarafından geliştirilen ‘dual sayılar’ da kompleks sayılara benzer şekilde a + ωb şeklinde gösteriliyor; a ve b reel, ω sıfırdan farklı fakat karesi sıfır olan sayı. Kompleks sayılarla dual sayıları bir araya getirdiğimizde a+ib+ωc+iωd şeklinde yeni bir sayı elde edebiliriz. Bu yeni sayılar kompleks sayıları da kapsıyor ve daha geniş bir sayı kümesi.